关于高三数学幂函数与二次函数的复习题
形如y=xa(a为实数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数，以下是高考数学复习幂函数与二次函数专题检测，请大家仔细进行检测。
一、选择题
1.(2013宝鸡模拟)已知m2,点(m-1,y1),(m,y2),(m+1,y3)都在二次函数y=x2-2x的图像上,则( )
(A)y1ca (B)ac
(C)cb (D)ab
6.设abc0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图像可能是( )
7.函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1,+)上是减少的,则实数a的取值范围是( )
(A)[-3,0)
(B)(-,-3]
(C)[-2,0]
(D)[-3,0]
8.(2013安庆模拟)设函数f(x)=若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数是( )
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
9.(2013南昌模拟)设b0,二次函数y=ax2+bx+a2-1的图像为下列之一.
则a的值为( )
(A)1
(B)2
(C)-1
(D)-2
10.(能力挑战题)若不等式x2+ax+10对于一切x(0,]恒成立,则a的最小值是( )
(A)0
(B)2
(C)-1
(D)-3
二、填空题
11.若二次函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,bR)是偶函数,且它的值域为(-,4],则该函数的解析式f(x)= .
12.(2013上饶模拟)已知关于x的方程x2+a|x|+a2-9=0只有一个实数解,则实数a的`值为.
13.二次函数f(x)的二次项系数为正,且对任意x恒有f(2+x)=f(2-x),若f(1-2x2)0，则实数a的取值范围是.
三、解答题
15.(能力挑战题)已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数,且a0),满足条件f(1+x)=f(1-x),且方程f(x)=x有等根.
(1)求f(x)的解析式.
(2)是否存在实数m,n(m2,
1(，
由函数y=()x在R上是减函数知((，
ab.
6.【解析】选D.对于选项A,C,都有abc0,故排除A,C.对于选项B,D,都有-0,即ab0,则当c0时,abc0.
7.【解析】选D.当a=0时,f(x)=-3x+1显然成立,
当a0时,需解得-30,
综上可得-30.
【误区警示】本题易忽视a=0这一情况而误选A,失误的原因是将关于x的函数误认为是二次函数.
8.【解析】选C.由f(-4)=f(0),f(-2)=-2得
f(x)=
当x0时,由f(x)=x得x2+4x+2=x,
解得x=-2或x=-1.
当x0时,由f(x)=x得x=2.
故关于x的方程f(x)=x的解的个数是3个.
9.【解析】选C.由b0知,二次函数对称轴不是y轴,结合二次函数的开口方向及对称轴位置,二次函数图像是第③个.从而a2-1=0且a0,a=-1.
10.【解析】选C.方法一:设g(a)=ax+x2+1,
∵x(0,],g(a)为增加的.
当x=时满足:a++10即可,解得a-.
方法二:由x2+ax+10得a-(x+)在x(0,]上恒成立,
令g(x)=-(x+),则知g(x)在(0,]上是增加的,
g(x)max=g()=-,a-.
11.【思路点拨】化简f(x),函数f(x)为偶函数,则一次项系数为0可求b.值域为(-,4],则最大值为4,可求2a2,即可求出解析式.
【解析】∵f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx2+(2a+ab)x+2a2是偶函数,则其图像关于y轴对称.
2a+ab=0,b=-2或a=0(舍去).
f(x)=-2x2+2a2,又f(x)的值域为(-,4],
2a2=4,f(x)=-2x2+4.
答案:-2x2+4
12.【解析】设f(x)=x2+a|x|+a2-9,
则f(-x)=(-x)2+a|-x|+a2-9
=x2+a|x|+a2-9=f(x),
即函数f(x)是偶函数.
由题意知,f(0)=0,则a2-9=0,
a=3或a=-3,
经检验a=3符合题意,a=-3不合题意,故a=3.
答案:3
13.【思路点拨】由题意知二次函数的图像开口向上,且关于直线x=2对称,则距离对称轴越远,函数值越大,依此可转化为不等式问题.
【解析】由f(2+x)=f(2-x)知x=2为对称轴,由于二次项系数为正的二次函数中距对称轴越远函数值越大,|1-2x2-2||1+2x-x2-2|,
即|2x2+1||x2-2x+1|,
2x2+10的否定为:对于区间[0，1]内的任意一个x都有f(x)0.
即
解得a1或a-2.
二次函数在区间[0，1]内至少存在一个实数b，使f(b)0的实数a的取值范围是(-2，1).
答案:(-2，1)
15.【解析】(1)∵f(x)满足f(1+x)=f(1-x),
f(x)的图像关于直线x=1对称.
而二次函数f(x)的对称轴为x=-,
-=1 ①
又f(x)=x有等根,即ax2+(b-1)x=0有等根,
=(b-1)2=0 ②
由①②得b=1,a=-,f(x)=-x2+x.
(2)∵f(x)=-x2+x=-(x-1)2+.
如果存在满足要求的m,n,则必须3n,
n.
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